Question

4．已知无穷等比数列{a_n}中，${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}{a_3}=-\frac{1}{12}$，则$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）$=$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 设无穷等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式解方程可得q，再由等比数列的前n项和的公式，结合极限公式，即可得到所求值．

解答 解：设无穷等比数列{a_n}的公比为q，
由${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}{a_3}=-\frac{1}{12}$，
可得$\frac{3}{2}$q•$\frac{3}{2}$q²=-$\frac{1}{12}$，
解得q=-$\frac{1}{3}$，
则$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{3}{2}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{3}）}$
=$\frac{\frac{3}{2}}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查数列的极限的求法，注意运用无穷递缩等比数列的极限公式，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及运算能力，属于中档题．