Question

12．在等比数列{a_n}中，若a₅+a₆+a₇+a₈=$\frac{15}{8}$，a₆a₇=-$\frac{9}{8}$，则$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$=-$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 由等比数列的性质可得a₅a₈=a₆a₇=-$\frac{9}{8}$，由分式的性质化简可得原式=$\frac{{a}_{5}+{a}_{6}+{a}_{7}+{a}_{8}}{{a}_{6}{a}_{7}}$代入数据化简可得．

解答 解：由等比数列的性质可得a₅a₈=a₆a₇=-$\frac{9}{8}$，
∴$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$=（$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$）+（$\frac{1}{{a}_{6}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$）=$\frac{{a}_{5}+{a}_{8}}{{a}_{5}{a}_{8}}$+$\frac{{a}_{6}+{a}_{7}}{{a}_{6}{a}_{7}}$=$\frac{{a}_{5}+{a}_{6}+{a}_{7}+{a}_{8}}{{a}_{6}{a}_{7}}$=$\frac{\frac{15}{8}}{-\frac{9}{8}}$=-$\frac{5}{3}$，
故答案为：-$\frac{5}{3}$

点评 本题考查等比数列的前n项和和性质，涉及分式的运算性质，属中档题．