Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，∠ADC=∠BAD=90°且AB=AD=PD=2CD=2，PD⊥平面ABCD，E是PA中点．
（1）求证：DE⊥PB
（2）求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（0，2，0），B（2，2，0），C（1，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1）
（1）可得$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PB}=0×2+2×1+（-2）×1=0$，DE⊥PB．
（2）求出平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，可知平面PAD的法向量为$\overrightarrow{DC}=（1，0，0）$．
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{DC}＞=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即可得平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值

解答 解：如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，∠ADC=∠BAD=90°
且AB=AD=PD=2CD=2，PD⊥平面ABCD，E是PA中点
则D（0，0，0），A（0，2，0），B（2，2，0），
C（1，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1）
（1）证明：可得$\overrightarrow{PB}=（2，2，-2），\overrightarrow{DE}=（0，1，1）$，
即$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PB}=0×2+2×1+（-2）×1=0$，
∴DE⊥PB．
（2）设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{CP}=（-1，0，2），\overrightarrow{CB}=（1，2，0）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=x+2y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（2，-1，1）$．
可知平面PAD的法向量为$\overrightarrow{DC}=（1，0，0）$．
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{DC}＞=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与线垂直的证明，考查平面与平面所成的角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和向量法的合理运用．属于中档题．