Question

11．如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点为F，过点G（p，0）任作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
（1）证明：y₁y₂为常数，并求当y₁y₂=-8时抛物线C的方程；
（2）若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N．求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．

Answer 1

分析 （1）代入抛物线方程，利用韦达定理即可求得y₁y₂常数，-2p²=-8，即可求得p的值；
（2）求出y₃•y₄=-2p²，y₁•y₃=-p²，即可求出直线AB与直线MN斜率之比．

解答 解：（1）证明：设直线AM的方程为x=my+p，
代入抛物线方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+p}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得y²-2mpy-2p²=0，
由韦达定理可知：y₁•y₂=-2p²为定值；
由y₁•y₂=-2p²=-8，
∴p=2，
∴抛物线C：y²=4x；
（Ⅱ）证明设B（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
设直线NB：x=ny+p，代入抛物线方程，可得，y²-2pny-2p²=0，
则y₃•y₄=-2p²，同理可知y₁•y₂=-2p²，
y₁•y₃=-p²，
∴直线AB与直线MN斜率之比为$\frac{\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{3}}}{\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{4}}}$=$\frac{{y}_{2}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{\frac{-2p}{{y}_{1}{y}_{3}}（{y}_{1}+{y}_{3}）}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=2．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．