Question

13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中|φ|＜π，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），则f（x）的递增区间是（　　）

• A． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
• B． [kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）
• C． [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（（k∈Z）
• D． [kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]（（k∈Z）

Answer 1

分析 由已知求出函数解析式，结合正弦函数的图象和性质，得到f（x）的递增区间．

解答 解：因为f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，
故f（$\frac{π}{6}$）是函数f（x）的最大值或最小值．
函数f（x）的周期T=π，
所以f（π）=f（0）．
又因为函数的对称轴为x=$\frac{π}{6}$，
所以f（0）=f（$\frac{π}{3}$），
知f（$\frac{π}{2}$）＞f（$\frac{π}{3}$），
所以f（$\frac{π}{6}$）是函数f（x）的最小值，
所以2×$\frac{π}{6}$+φ=-$\frac{π}{2}$，
解得φ=-$\frac{5}{6}$π．
由2x-$\frac{5}{6}$π∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，（k∈Z）得：
x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z），
即f（x）的递增区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z），
故选：C

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，难度中档．