Question

13．下列结论：①函数y=sin$\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}$的图象的一条对称轴方程是x=$\frac{π}{3}$； ②△ABC中，若b=2asinB，则A等于30°；③在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$；④sin70°cos40°cos60°cos80°=$\frac{1}{8}$，其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简，求得x=$\frac{π}{3}$时，y有最大值2判断①正确；利用正弦定理化边为角，进一步求出A判断②；解三角形求出△ABC的面积判断③；利用倍角公式求出sin70°cos40°cos60°cos80°的值判断④．

解答 解：①函数y=sin$\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}$=$2（\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\frac{x}{2}）=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，当x=$\frac{π}{3}$时，y有最大值2，∴函数图象的一条对称轴方程是x=$\frac{π}{3}$，故①正确； 
②△ABC中，若b=2asinB，则A等于30°，则sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=$\frac{1}{2}$，则A=30°或150°，故②错误；
③在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则由${7}^{2}={5}^{2}+{b}^{2}-10b×（-\frac{1}{2}）$，得b=3，即AC=3，∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×5×3×sin120°$=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，故③正确；
④sin70°cos40°cos60°cos80°=cos20°=cos20°cos40°cos60°cos80°=$\frac{1}{2}×$$\frac{2sin20°cos20°cos40°cos80°}{2sin20°}$
=$\frac{sin40°cos40°cos80°}{4sin20°}$=$\frac{2sin40°cos40°cos80°}{8sin20°}=\frac{sin80°cos80°}{8sin20°}$=$\frac{sin160°}{16sin20°}=\frac{1}{16}$，故④错误．
∴正确的命题是①③．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的性质，是中档题．