Question

1．直线l过点（2，0）且与曲线$y=-\frac{4}{{{e^x}+1}}$相切，设其倾斜角为，则α=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 135°

Answer 1

分析 设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，代入点（2，0），解方程即可得到结论．

解答 解：∵$y=-\frac{4}{{{e^x}+1}}$，
∴函数的导数为y′=$\frac{4{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，
设切点坐标为（x₀，-$\frac{4}{{e}^{{x}_{0}}+1}$），
∴切线方程为y+$\frac{4}{{e}^{{x}_{0}}+1}$=$\frac{4{e}^{{x}_{0}}}{（{e}^{{x}_{0}}+1）^{2}}$（x-x₀），
∵切线l过点（2，0），
∴解得x₀=0，
∴$\frac{4{e}^{{x}_{0}}}{（{e}^{{x}_{0}}+1）^{2}}$=1=tanα，
∴α=45°．
故选B．

点评 本题主要考查导数的几何意义，考查直线方程的形式，求函数的导数是解决本题的关键．