Question

9．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为120°，且$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=3$，则向量$2\overrightarrow a+3\overrightarrow b$在向量$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的投影为$\frac{19\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 根据平面向量数量积与向量投影的定义，计算即可．

解答 解：向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为120°，且$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=3$，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×3×cos120°=-3，
∴（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+8$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$=4×2²+8×（-3）+3×3²=19，
|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}）}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4{×2}^{2}+4×（-3）{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
∴向量$2\overrightarrow a+3\overrightarrow b$在向量$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的投影为
|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|cos$＜2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}，\overrightarrow{2a}+\overrightarrow{b}＞$
=|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|×$\frac{（2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}|×|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{19}{\sqrt{13}}$
=$\frac{19\sqrt{13}}{13}$．
故答案为：$\frac{19\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查平面向量数量积的定义与向量投影的应用问题，是基础题．