Question

9．已知在等差数列{a_n}中，a₃=5，a₁+a₁₉=-18
（1）求公差d及通项a_n
（2）求数列 {a_n}的前n项和S_n及使得S_n的值取最大时n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列{a_n}通项公式列出方程组，求出首项、公差，由此能求出公差d及通项a_n．
（2）利用通项公式前n项和公式求出数列的前n项和，再由配方法能求出使得S_n的值取最大时n的值．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₃=5，a₁+a₁₉=-18，
∴a₃=5，a₁+a₁₉=-18，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=5\\ 2{a_1}+18d=-18\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=9\\ d=-2\end{array}\right.$，∴a_n=11-2n．
（2）${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（9+11-2n）}{2}=-{n^2}+10n$=-（n-5）²+25，
∴n=5时，S_n最大．

点评 本题考查等差数列的公差、通项公式、前n项和及使得S_n的值取最大时n的值的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．