Question

20．设甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有m个黑球，n个白球，从甲、乙袋中各摸一球，设事件A：“两球同色”，事件B：“两球异色”，试比较P（A）与P（B）的大小．

Answer 1

分析 由题意知将A、B分别分解为互斥事件，利用互斥事件来表示要比较的两个事件的概率，根据等可能事件的概率写出P（A₁）与P（A₂），P（B₁）与P（B₂），利用互斥事件的概率表示出A与B的概率，根据基本不等式进行比较得到结果．

解答 解：基本事件总数为（m+n）²，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”，
则$P（A）=\frac{mn}{{{{（{m+n}）}^2}}}+\frac{mn}{{{{（{m+n}）}^2}}}=\frac{2mn}{{{{（{m+n}）}^2}}}$，
“两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”，
则$P（B）=\frac{m^2}{{{{（{m+n}）}^2}}}+\frac{n^2}{{{{（{m+n}）}^2}}}=\frac{{{m^2}+{n^2}}}{{{{（{m+n}）}^2}}}$，
∵$P（B）-P（A）=\frac{{{{（{m-n}）}^2}}}{{{{（{m+n}）}^2}}}≥0$，
∴P（A）≤P（B），当且仅当“m=n”时取等号．

点评 由题意知本题也可以这样解：显然B=$\overline{A}$，所以按解法一解出P（A）后，可得P（B）=1-P（A）=$\frac{{m}^{2}{+n}^{2}}{{（m+n）}^{2}}$，比较P（A）、P（B）即可．