Question

15．已知圆C：x²+y²=9，点A（-5，0），直线l：x-2y=0．
（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
（2）设定点$B（-\frac{9}{5}，0）$，问：对于圆C上任一点P，$\frac{PB}{PA}$是否为一常数？若是，求出这个常数值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据所求直线与直线l垂直，设所求直线方程为y=-2x+b，即2x+y-b=0，利用直线与圆相切，距离d=r可得b的值，可得直线方程．
（2）设出P点，利用两点之间的距离公式，求解BP和PA，化简可得结论．

解答 解：（1）由题意，所求直线与直线l垂直，
设所求直线方程为y=-2x+b，即2x+y-b=0，
∵直线与圆相切，∴$\frac{|-b|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=3$，得$b=±3\sqrt{5}$，
∴所求直线方程为$y=-2x±3\sqrt{5}$．
（2）圆C上任一点为P，设P（x，y），则y²=9-x²，
∴$\frac{{P{B^2}}}{{P{A^2}}}=\frac{{{{（x+\frac{9}{5}）}^2}+{y^2}}}{{{{（x+5）}^2}+{y^2}}}=\frac{{{x^2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}+9-{x^2}}}{{{x^2}+10x+25+9-{x^2}}}=\frac{{\frac{18}{25}（5x+17）}}{2（5x+17）}=\frac{9}{25}$，
从而$\frac{PB}{PA}=\frac{3}{5}$为常数．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的运用，根据直线和圆相切距离d=r是解决本题的关键．同时考查了两点之间的距离公式的运用和计算能力．属于中档题．