Question

7．如图，四边形BCDE是直角梯形，CD∥BE，CD丄BC，CD=$\frac{1}{2}$BE=2，平面BCDE丄平面ABC，又已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，M是BC的中点．
（I）求证：AM丄ME；
（II）求四面体ADME的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB=AC，M是BC的中点，可得AM⊥BC，再由面面垂直的性质可得AM⊥平面BCDE，进一步得到AM⊥ME；
（Ⅱ）由已知可得△BME的面积，得到△DCM的面积，求出梯形BCDE的面积，作差可得△DME的面积，结合（Ⅰ）知，AM⊥平面BCDE，即三棱锥A-DME的高AM=$2\sqrt{2}$．代入棱锥体积公式得答案．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∵平面BCDE⊥平面ABC，而平面BCDE∩平面ABC=BC，AM?平面ABC，
∴AM⊥平面BCDE，又EM?平面BCDE，
∴AM⊥ME；
（Ⅱ）解：∵BE∥CD，CD⊥BC，且四边形BCDE是直角梯形，
∴${S}_{△BME}=\frac{1}{2}•BE•BM=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$．
${S}_{△DCM}=\frac{1}{2}{S}_{BME}=2\sqrt{2}$．
而梯形BCDE的面积${S}_{梯形BCDE}=\frac{1}{2}（4+2）×4\sqrt{2}=12\sqrt{2}$．
∴${S}_{△DME}={S}_{梯形BCDE}-{S}_{△DCM}-{S}_{△BEM}=6\sqrt{2}$．
由（Ⅰ）知，AM⊥平面BCDE，即三棱锥A-DME的高AM=$2\sqrt{2}$．
∴${V}_{A-DME}=\frac{1}{3}{S}_{△DME}•AM=\frac{1}{3}×6\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=8．

点评 本题考查直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．