Question

3．（1）计算：$|{1+\sqrt{2}i}|+{（{\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i}）^3}$；
（2）已知2i-3是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．

Answer 1

分析 （1）根据复数的运算性质计算即可；（2）把-3+2i代入方程2x²+px+q=0的一个根，化简根据复数相等即可得出．

解答 解：（1）$|{1+\sqrt{2}i}|+{（{\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i}）^3}$=$\sqrt{1+2}$+（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=$\sqrt{3}$-1；
（2）∵-3+2i方程2x²+px+q=0的一个根，
∴2（-3+2i）²+p（-3+2i）+q=0，
即（10-3p+q）+（2p-24）i=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{10-3p+q=0}\\{2p-24=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{p=12}\\{q=26}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．