Question

10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足2017cos2C-cos2A=2016-2sin²B，则$\frac{tanC•（tanA+tanB）}{tanA•tanB}$=（　　）

• A． $\frac{2017}{2}$
• B． $\frac{2}{2017}$
• C． $\frac{1}{2016}$
• D． $\frac{1}{1008}$

Answer 1

分析 利用二倍角公式化解2017cos2C-cos2A=2016-2sin²B，可得sin²B+sin²A=2017sin²C，即a²+b²=2017c²．将$\frac{tanC•（tanA+tanB）}{tanA•tanB}$化简通分可得：$\frac{sinC（sinAcosB+cosAsinB）}{cosCsinAsinB}$，利用正弦定理可得求解．

解答 解：由题意，2017cos2C-cos2A=2016-2sin²B，
可得sin²B+sin²A=2017sin²C，
由正弦定理可得：a²+b²=2017c²．
那么cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2016{c}^{2}}{2ab}$．
故$\frac{tanC•（tanA+tanB）}{tanA•tanB}$=$\frac{sinC（sinAcosB+cosAsinB）}{cosCsinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{cosC•ab}=\frac{1}{1008}$．
故选：D．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式，正余弦定理的综合运用．有一定的难度．