Question

1．已知圆${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$的一条切线y=kx与双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A． $（1，\sqrt{3}）$
• B． （1，2]
• C． $（\sqrt{3}，+∞）$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 先求出切线的斜率，再利用圆${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$的一条切线y=kx与双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$没有公共点，得到$\frac{b}{a}≤\sqrt{3}$，1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≤4$，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．

解答 解：由题意，圆心到直线的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴k=±$\sqrt{3}$．
圆${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$的一条切线y=kx与双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$没有公共点，
∴$\frac{b}{a}≤\sqrt{3}$，1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≤4$，∴双曲线C的离心率的取值范围是（1，2]
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．