Question

6．已知函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1处取得极值0．
（1）试确定a、b之值；
（2）若方程f（x）=k有三个解，试确定k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²+6ax+b，∵函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1处取得极值0，f′（-1）=，f（-1）=0，解得a，b．
（2）由（1）可得：f（x）=x³+6x²+9x+4．可得f′（x），令f′（x）=0，可得极值，根据方程f（x）=k有三个解，可得f（x）极小值＜k＜f（x）的极大值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+6ax+b，
∵函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1处取得极值0，∴f′（-1）=3-6a+b=0，-1+3a-b+a²=0，
解得a=2，b=9．
（2）由（1）可得：f（x）=x³+6x²+9x+4．
f′（x）=3x²+12x+9=3（x+1）（x+3），
可知：x=-3时，函数f（x）取得极大值，f（-3）=4．
x=-1时，函数f（x）取得极小值，f（-1）=0．
∵方程f（x）=k有三个解，
∴0＜k＜4．
则k的取值范围是0＜k＜4．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解转化为函数图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．