Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+3，x≥0}\\{ax+b，x＜0}\end{array}\right.$，满足条件：对于任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₁）=f（x₂）．当$f（{\sqrt{3}a}）=f（{4b}）$成立时，则实数a+b=（　　）

• A． $-\sqrt{2}+3$
• B． 5
• C． $\sqrt{2}+3$
• D． 1

Answer 1

分析 利用分段函数，通过题意推出函数的单调性以及函数值的关系列出方程，求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+3，x≥0}\\{ax+b，x＜0}\end{array}\right.$，
若对于任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₁）=f（x₂）．
可知x＜0时，函数是减函数，并且x=0时，两部分的函数值相等．
可得：a＜0，b=3，
当$f（{\sqrt{3}a}）=f（{4b}）$时，$\sqrt{3}{a}^{2}+3$=$\sqrt{12}+3$，
解得：a=-$\sqrt{2}$，
故实数a+b=$-\sqrt{2}+3$，
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，函数与方程的思想的应用，判断函数的单调性是解题的关键．