Question

3．九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则（　　）天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1．（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．）

• A． 2.2
• B． 2.4
• C． 2.6
• D． 2.8

Answer 1

分析 设蒲的长度组成等比数列{a_n}，其a₁=3，公比为$\frac{1}{2}$，其前n项和为A_n．莞的长度组成等比数列{b_n}，其b₁=1，公比为2，其前n项和为B_n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．

解答 解：设蒲的长度组成等比数列{a_n}，其a₁=3，公比为$\frac{1}{2}$，其前n项和为A_n．
莞的长度组成等比数列{b_n}，其b₁=1，公比为2，
其前n项和为B_n．则A_n=$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$，B_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，
由题意可得：$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，化为：2ⁿ+$\frac{6}{{2}^{n}}$=7，
解得2ⁿ=6，2ⁿ=1（舍去）．
∴n=$\frac{lg6}{lg2}$=1+$\frac{lg3}{lg2}$≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故选：C

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．