Question

8．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=2CD=2，$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}•\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{2}$，动点E和F分别在线段CD和BC上，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$的最大值为$\frac{7}{2}$，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$的取值范围为[$\frac{7}{4}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N．则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$的最大值为BA•BM=$\frac{7}{2}$，得BM，AM，BN．根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$最小，此时$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}=\frac{7}{4}$，当点F在B处时，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$最大，此时$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=AB•AN=\frac{5}{2}$．

解答 解：由$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}•\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{2}$，得∠DAC=60°．
根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$最大，
过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N
则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BE}$的最大值为BA•BM=$\frac{7}{2}$，∴BM=$\frac{7}{4}$，
⇒AM=$\frac{1}{4}$，BN=$\frac{3}{4}$
以A为原点，ADF方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A（0，0），B（2，0），C（$\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$），D（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$）
根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$最小，此时$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}=\frac{7}{4}$．
当点F在B处时，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$最大，此时$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=AB•AN=\frac{5}{2}$．
∴则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AF}$的取值范围为[$\frac{7}{4}，\frac{5}{2}$]
故答案为：[$\frac{7}{4}，\frac{5}{2}$]

点评 本题主要考查两个向量数量积运算，特别是几何意义，属于中档题．