Question

7．已知椭圆E：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A，F分别是椭圆E的左顶点，上焦点，直线AF的斜率为$\sqrt{3}$，直线l：y=kx+m与y轴交于异于原点的点P，与椭圆E交于M，N两个相异点，且$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在实数m，使$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{ON}$=4$\overrightarrow{OP}$？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率以及直线AF的斜率为$\sqrt{3}$，列出方程组求解a，b，即可的椭圆方程．
（Ⅱ）求出P（0，m），由$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$，得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=λ（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$，转化求解λ，设M（x₁，kx₁+m），N（x₂，kx₂+m），联立直线与椭圆方程，利用判别式以及韦达定理得到k，m的不等式，通过向量关系求出k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$．然后求解m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{c}{b}=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，…（3分）
解得a=2，b=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．…（5分）
（Ⅱ）根据已知得P（0，m），由$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$，得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=λ（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$
∴$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=（1+λ）\overrightarrow{OP}$．
∵$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=4\overrightarrow{OP}$，∴（1+λ）$\overrightarrow{OP}$=$4\overrightarrow{OP}$．
∴1+λ=4，解得λ=3．…（7分）
设M（x₁，kx₁+m），N（x₂，kx₂+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0（※）
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，即
k²-m²+4＞0，
且x₁+x₂=$\frac{-2km}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．…（9分）
由$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，得-x₁=3x₂，即（x₁+x₂）+2x₂=0．
∴x₂=$\frac{km}{{k}^{2}+m}$．代入（※）式中整理得m²k²+m²-k²-4=0．…（10分）
当m²=1时，m²k²+m²-k²-4=0不成立．
∴k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$．
∵k²-m²+4＞0，
∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$-m²+4＞0，即$\frac{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$＞0．
∴1＜m²＜4，解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．
综上所述，当-2＜m＜-1，或1＜m＜2时，$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=4\overrightarrow{OP}$．…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，有关范围的问题的解决方法，考查椭圆的求法，考查转化思想以及计算能力．