Question

16．已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线为l，若l与二次函数y=ax²+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（　　）

• A． 12
• B． 8
• C． 4
• D． 0

Answer 1

分析 求出y=x+1+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax²+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．

解答 解：y=x+1+lnx的导数为y′=1+$\frac{1}{x}$，
曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y-2=2x-2，即y=2x．
由于切线与曲线y=ax²+（a+2）x+1相切，
y=ax²+（a+2）x+1可联立y=2x，
得ax²+ax+1=0，
又a≠0，两线相切有一切点，
所以有△=a²-4a=0，
解得a=4．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．