Question

2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为AA₁中点，Q为CC₁的中点，AB=2，则三棱锥B-PQD的体积为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，取PQ中点G，连接BG，DG，可得PQ⊥平面BGD，求出△BDG的面积，代入棱锥体积公式求解．

解答 解：如图，

连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，
可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，
又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，
在Rt△BPG中，由BP=$\sqrt{5}$，PG=$\sqrt{2}$，可得BG=$\sqrt{3}$，
同理可得DG=$\sqrt{3}$，则△BDG边BD上的高为$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=1$，
∴${S}_{△BDG}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$，
则${V}_{B-PQD}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查柱、锥、台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．