Question

10．已知函数f（x） 满足f（2^x）=x+1．
（1）求函数f（x） 的解析式；
（2）求函数y=[f（x）]²+f（2x） 的最小值；
（3）设函数g（x） 是函数y=f（x）-1 的反函数，函数h（x）=f（x）+g（x）．若方程h（x）-a=0 在区间（1，2）上有根，求实数a 的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x＞0，x=log₂t，即可求函数f（x） 的解析式；
（2）y=[f（x）]²+f（2x）=（log₂x+1）²+log₂x+1+1，利用换元、配方法求函数y=[f（x）]²+f（2x） 的最小值；
（3）h（x）=f（x）+g（x）=log₂x+2^x+1在区间（1，2）上单调递增，则h（x）∈（3，6），即可求实数a 的取值范围．

解答 解：（1）令t=2^x＞0，x=log₂t，∴f（t）=log₂t+1，∴f（x）=log₂x+1（x＞0）；
（2）y=[f（x）]²+f（2x）=（log₂x+1）²+log₂x+1+1，
令log₂x+1=m，则y=m²+m+1=（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴m=-$\frac{1}{2}$，即x=${2}^{-\frac{3}{2}}$时，函数的最小值为$\frac{3}{4}$；
（3）y=f（x）-1=log₂x的反函数g（x）=2^x，h（x）=f（x）+g（x）=log₂x+2^x+1在区间（1，2）上单调递增，则h（x）∈（3，6），
∵方程h（x）-a=0 在区间（1，2）上有根，
∴a）∈（3，6）．

点评 本题考查换元法求函数的解析式，考查函数的最值，考查函数单调性的运用，属于中档题．