Question

7．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为棱AA₁的中点．若截面△BC₁D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为$8\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设AC=a，CC₁=b，由截面△BC₁D是面积为6的直角三角形列式求出a，b，则三棱柱的体积可求．

解答 解：设AC=a，CC₁=b，截面△BC₁D是面积为6的直角三角形，
则由（a²+$\frac{1}{4}{b}^{2}$）×2=a²+b²，
得b²=2a²，又$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}{a}^{2}=6$，
∴a²=8，则${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∴V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×8×4=8\sqrt{3}$，
故答案为$8\sqrt{3}$．

点评 本题考查棱柱的体积的求法，考查计算能力，是中档题．