Question

15．求过点（1，2）且与曲线$y=\sqrt{x}$相切的直线方程．

Answer 1

分析 设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，利用过点（1，2），解方程求出切点坐标即可得到结论．

解答 解：设切点A（x₀，y₀），
∵$y=\sqrt{x}$的导数为：y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴切线斜率为k=$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$，
∴对应的切线方程为y-$\sqrt{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$（x-x₀）=$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$x-$\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{2}$，
即y=$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$x+$\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{2}$，
又切线过（1，2），
∴2=$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$+$\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{2}$，
即x₀-4$\sqrt{{x}_{0}}$+1=0，
解得x₀=7+4$\sqrt{3}$或x₀=7-4$\sqrt{3}$，
∴切线方程为：y=$\frac{1}{4+2\sqrt{3}}$x+$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$或y=$\frac{1}{4-2\sqrt{3}}$x+$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
即为x-（4+2$\sqrt{3}$）y+（7+4$\sqrt{3}$）=0或x-（4-2$\sqrt{3}$）y+（7-4$\sqrt{3}$）=0．

点评 考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，正确求导和设出切点是解题的关键，属于中档题．