Question

3．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单的随机抽样方法从该地区调查了500名老年人，结果如下：

性别 是否需要志愿者	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能够有99%的把握认为该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

Answer 1

分析 对（1）根据列联表可求得需要志愿者提供帮助的老年人人数，再求比例；
对（2）计算K²，同临界值表进行比较，得到有多大把握认为老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；
对（3）计算男、女需要提供帮助的比例，来判断分层抽样是否更切合实际．

解答 解：（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为$\frac{70}{500}$=14%．
（2）${K}^{2}=\frac{500×（40×270-30×160）^{2}}{200×300×70×430}$=9.967，由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（3）由（2）得结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人比女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．

点评 本题考查独立性检验．利用观测值K²与临界值的大小来确定是否能以一定把握认为两个分类变量有关系．
其方法是：K≥K₀，解释为有[1-P（k²≥k₀）]×100%的把握认为两个分类变量有关系；K＜K₀，解释为不能以[1-P（k²≥k₀）]×100%的把握认为两个分类变量有关系．