Question

8．已知f（α）=$\frac{sin（\frac{π}{2}+α）•sin（2π-α）}{cos（-π-α）•sin（\frac{3}{2}π+α）}$．
（1）若α是第三象限角，且cos（α-$\frac{3}{2}$π）=$\frac{1}{5}$，求f（α）的值；
（2）若f（α）=-2，求2sinαcosα+cos²α的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简f（α），根据cos（α-$\frac{3}{2}$π）=$\frac{1}{5}$化简，可得求f（α）的值；
（2）f（α）=-2，由2sinαcosα+cos²α=$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$，“弦化切”的思想即可求解．

解答 解：由f（α）=$\frac{sin（\frac{π}{2}+α）•sin（2π-α）}{cos（-π-α）•sin（\frac{3}{2}π+α）}$=$\frac{cosα•-sinα}{-cosα•-cosα}=-tanα$
∵cos（α-$\frac{3}{2}$π）=-sinα=$\frac{1}{5}$，即sinα=$-\frac{1}{5}$
α是第三象限角，∴cosα=$-\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$-\frac{2\sqrt{6}}{5}$
那么f（α）=$-\frac{sinα}{cosα}=-\frac{\sqrt{6}}{12}$
（2）由f（α）=-tanα=-2，即tanα=2
那么：2sinαcosα+cos²α=$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα+1}{ta{n}^{2}α+1}$=1．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，“弦化切”的思想．属于基本知识的考查