Question

8．已知等差数列{a_n}满足：a₁=2，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）记S_n为数列{a_n}的前项n和，是否存在正整数n，使得S_n＞40n+600？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列求和公式与不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}公差为d，由$a_3^2={a_1}{a_{13}}得{（{2+2d}）^2}=2（{2+12d}）$…（2分）
解得d=0或d=4，…（4分）
故a_n=2或a_n=4n-2； …（6分）
（2）当a_n=2时，S_n=2n…（7分）S_n=2n＜40n+600．不存在正整数n，使得S_n＞40n+600…（8分）
当a_n=4n-2时，${S_n}=2{n^2}$…（9分）
由2n²＞40n+600解得n＞30或n＜-10（舍去）
此时存在正整数n使得S_n＞40n+600．且n的最小值为31．…（11分）
综上，当a_n=2时，不存在正整数n，使得S_n＞40n+600
当a_n=4n-2时，存在正整数n使得S_n＞40n+600．且n的最小值为31．…（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．