Question

6．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-8|x-\frac{3}{2}|，1≤x≤2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}），x＞2}\end{array}\right.$，函数y=xf（x）-6在[1，16]内零点之和为（　　）

• A． $\frac{45}{2}$
• B． 23
• C． $\frac{47}{2}$
• D． 24

Answer 1

分析 由y=0得f（x）=$\frac{6}{x}$，然后分别作出函数y=f（x）与y=$\frac{6}{x}$的图象，利用数形结合即可得到函数零点，问题得以解决．

解答 解：在直角坐标系中画出y=f（x）与y=$\frac{6}{x}$的图象，如图所示；
当1≤x≤2，4-8|x-$\frac{3}{2}$|=$\frac{6}{x}$，
解得x=$\frac{3}{2}$，
再根据当x＞2时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）可得y=f（x）与y=$\frac{6}{x}$的图象的交点的横坐标依次为3，6，12
所以$\frac{3}{2}$+3+6+12=$\frac{45}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数零点的问题，根据方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．本题难度较大，综合性较强．