Question

5．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为$\frac{π}{2}$，直线$x=\frac{π}{3}$是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（　　）

• A． $y=4sin（4x+\frac{π}{6}）$
• B． $y=2sin（2x+\frac{π}{3}）+2$
• C． $y=2sin（4x+\frac{π}{3}）+2$
• D． $y=2sin（4x+\frac{π}{6}）+2$

Answer 1

分析 由题意可得A+m=4，A-m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．

解答 解：由题意可得A+m=4，A-m=0，解得 A=2，m=2．
再由最小正周期为$\frac{π}{2}$，可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=4，
∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．
再由 x=$\frac{π}{3}$是其图象的一条对称轴，可得 4×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
故符合条件的函数解析式是 y=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+2，
故选D．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．