正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1.E为A1B1 的中点.则下列四个命题:①点E到平面ABC1D1 的距离为$\frac{1}{2}$,②直线BC与平面ABC1D1 所成的角等于45°③空间四边形ABCD1 在正方体六个面内形成六个射影.其面积最小值是$\frac{1}{2}$④AE与DC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$其中真命题的个数是( )A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为1，E为A₁B₁ 的中点，则下列四个命题：
①点E到平面ABC₁D₁ 的距离为$\frac{1}{2}$；
②直线BC与平面ABC₁D₁ 所成的角等于45^°
③空间四边形ABCD₁ 在正方体六个面内形成六个射影，其面积最小值是$\frac{1}{2}$
④AE与DC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$
其中真命题的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析在①中，E到面ABC₁D₁的距离等于B₁到面ABC₁D₁的距离为$\frac{1}{2}$B₁C；在②中，BC与面ABC₁D₁所成的角即为∠CBC₁；在③中，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形；在④中，∠EAB是AE与DC所成角．

解答解：在①中，E∈A₁B₁，A₁B₁∥面ABC₁D₁，∴E到面ABC₁D₁的距离等于B₁到面ABC₁D₁的距离为$\frac{1}{2}$B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．故①错误；
在②中，BC与面ABC₁D₁所成的角即为∠CBC₁=45°，故②正确；
在③中，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形，面积为$\frac{1}{2}$，故③正确；
在④中，∵DC∥AB，∴∠EAB是AE与DC所成角，
取AB中点F，连结EF，则AF=$\frac{1}{2}$，AE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠EAB=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．故④正确．
故选：C．

点评本题考查命题的真假判断，考查正方体结构特征、点到平面的距离、线面角、投影面积、异面直线所成角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．

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