Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，且BC=2，AD=CD=PC=1，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求直线PD与面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于O，连结EO．利用三角形相似得出$\frac{OD}{OB}=\frac{DE}{EP}=\frac{1}{2}$，从而得到OE∥PB，得出结论．
（2）如图以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1），求出面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$．直线PD与面PAB所成角为θ，sinθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PD}＞$|即可．

解答 解：（1）证明：连结BD交AC于O，连结EO．
∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，得出$\frac{OD}{OB}=\frac{DE}{EP}=\frac{1}{2}$，
∴OE∥PB，
∵OE?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面AEC．
（2）如图以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1）
设面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$.$\overrightarrow{AB}=（-1，1，0），\overrightarrow{AP}=（-1，-1，1）$，$\overrightarrow{PD}=（1，0，-1）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-x-y+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（1，1，2）$，
设直线PD与面PAB所成角为θ，sinθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PD}＞$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直线PD与面PAB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$

点评 本题考查了线面平行，向量法求线面角，属于中档题．