Question

14．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差x_i与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数y_i（i=1，2，…，5），作了初步处理，得到下表：

日期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月5日
温差xi（0C）	10	11	13	12	9
发芽率yi（颗）	23	25	30	26	16

（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于26”的概率；
（2）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，并预报3月份昼夜温差为14度时实验室每天100颗种子浸泡后的发芽（取整数值）．
附：回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中的斜率和截距最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=1351}$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=615．

Answer 1

分析 （1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
求出实验发生包含的事件数与满足条件的事件数，计算对应的概率值；
（2）计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，
利用回归方程求出x=14时$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
实验发生包含的事件共有$C_5^2=10$种结果，
设“m，n均小于26”为事件A，
满足条件的事件是事件“m，n均小于26”的有如下3个：
（23，25），（23，16），（25，16），
∴所求概率为$P（A）=\frac{3}{10}$；
（2）∵$\overline x=11$，$\overline y=24$，
∴$\widehat{b}$=$\frac{{{\sum_{i}^{5}x}_{i}y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{1}}^{2}-{5\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1351-5×11×24}{615-5{×11}^{2}}$=3.1，
∴$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=24-3.1×11=-10.1，
∴所求的线性回归方程是$\widehat{y}$=3.1x-10.1．
当x=14时，$\widehat{y}$=3.1×14-10.1=33.3，
即昼夜温差为14度时实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数为33．

点评 本题考查了等可能事件的概率与线性回归方程的应用问题，是基础题．