Question

3．已知f（x）=（x²+ax+-2a-3）e^x在x=2时取得极值．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[$\frac{3}{2}$，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，f′（2）=0，求导，代入即可求得a的值；
（2）由（1）可知，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得区间[$\frac{3}{2}$，3]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由f（x）=（x²+ax+-2a-3）e^x，求导f′（x）=（2x+a）e^x+e^x（x²+ax+-2a-3）=[x²+（a+2）x-a-3]e^x，
由f（x）在x=2时取得极值，则f′（2）=0，即4+（a+2）×2-a-3=0，解得：a=-5，
∴a的值-5；
则f（x）=（x²+ax+-2a-3）e^x，
（2）由f（x）=（x²+ax+-2a-3）e^x，f′（x）=[x²-3x+2]e^x=（x-2）（x-1）e^x，
由f′（x）=0，解得：x=1或x=2，
∴f（x）在（-∞，1）递增，在（2，+∞）递增，由f′（x）＜0，得f（x）在（1，2）递减，
则当x=2时，取最小值，最小值为f（2）=e²，
f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{7}{4}$${e}^{\frac{3}{2}}$，f（3）=e³，
∵f（3）-f（$\frac{3}{2}$）=e³-${e}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{4}$${e}^{\frac{3}{2}}$（4e$\sqrt{e}$-7）＞0，
则f（3）＞f（$\frac{3}{2}$），
∴f（x）在的最大值是f（3）=e³，
∴f（x）在区间[$\frac{3}{2}$，3]上的最大值e³和最小值e²．

点评 本题考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．