Question

16．（2）如图，在△ABC中，D是BC的中点，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$，
（i）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=-1，求$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值；
（ii）若P为AD上任一点，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$恒成立，求证：2AC=BC．

Answer 1

分析 （i）建立坐标系，设C（a，0），A（m，n），求出各向量的坐标，根据条件列出方程组解出a²和m²+n²，从而可得$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值；
（ii）设P（λm，λn），根据$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$恒成立得出关于λ的不等式恒成立，利用二次函数的性质得出△≤0，从而得出m，n和a的关系，带入距离公式化简即可得出结论．

解答 解：（i）∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$，∴E，F为AD的四等分点．
以BC为x轴，以D为原点建立平面直角坐标系，
设B（-a，0），C（a，0），A（m，n），则E（$\frac{3m}{4}$，$\frac{3n}{4}$），F（$\frac{m}{4}$，$\frac{n}{4}$），
∴$\overrightarrow{BA}$=（m+a，n），$\overrightarrow{CA}$=（m-a，n），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{m}{4}+a$，$\frac{n}{4}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{m}{4}-a$，$\frac{n}{4}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{3m}{4}+a$，$\frac{3n}{4}$），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{3m}{4}-a$，$\frac{3n}{4}$），
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-{a}^{2}+{n}^{2}=4}\\{\frac{{m}^{2}}{16}-{a}^{2}+\frac{{n}^{2}}{16}=-1}\end{array}\right.$，解得m²+n²=$\frac{16}{3}$，a²=$\frac{4}{3}$．
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$=$\frac{9{m}^{2}}{16}$-a²+$\frac{9{n}^{2}}{16}$=$\frac{9}{16}$（m²+n²）-a²=$\frac{5}{3}$．
（ii）∵P为AD上任一点，设P（λm，λn），则$\overrightarrow{PA}$=（（1-λ）m，（1-λ）n），$\overrightarrow{PC}$=（a-λm，-λn），
$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{m}{4}$，$\frac{n}{4}$），$\overrightarrow{EC}$=（a-$\frac{3m}{4}$，-$\frac{3n}{4}$），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=（1-λ）m（a-λm）-（1-λ）λn²=（1-λ）（ma-λm²-λn²），$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$=$\frac{m}{4}（a-\frac{3m}{4}）$-$\frac{3{n}^{2}}{16}$=$\frac{am}{4}$-$\frac{3{m}^{2}}{16}$-$\frac{3{n}^{2}}{16}$．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$恒成立，
∴（$\frac{3}{4}$-λ）ma+（λ²-λ+$\frac{3}{16}$）（m²+n²）≥0恒成立，
即（m²+n²）λ²-（m²+n²+ma）λ+$\frac{3}{16}$（m²+n²）+$\frac{3}{4}$ma≥0恒成立，
∴△=（m²+n²+ma）²-4（m²+n²）[$\frac{3}{16}$（m²+n²）+$\frac{3}{4}$ma]≤0，
即$\frac{1}{4}$（m²+n²）²-ma（m²+n²）+m²a²≤0，∴[$\frac{1}{2}$（m²+n²）-ma]²≤0，
∴$\frac{1}{2}$（m²+n²）=ma，即m²-2ma=-n²，
∴AC=$\sqrt{（m-a）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-2ma+{a}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}}$=a，
又BC=2a，
∴2AC=BC．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量在几何中的应用，建立坐标系将向量运算转化为坐标运算，属于中档题．