Question

7．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$a=bcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}csinB$．，
（1）求B；
（2）若b=2，求ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，∵a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，化为：cosBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，s可得：tanB=$\sqrt{3}$，即可求得B．
（2）由正弦定理得y=ac=2RsinA•2RsinC=$\frac{16}{3}sinAsinC=\frac{16}{3}sinAsin（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{8}{3}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{4}{3}$．由0$＜A＜\frac{π}{2}$，0＜$\frac{2π}{3}$-A$＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$．即$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，sin（2A-$\frac{π}{6}$）$∈（\frac{1}{2}，1]$，可得ac的最大值

解答 解：（1）在△ABC中，∵a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，
∴sinA=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
化为：cosBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，sinC≠0，
可得：tanB=$\sqrt{3}$，B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=2R=\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴y=ac=2RsinA•2RsinC=$\frac{16}{3}sinAsinC=\frac{16}{3}sinAsin（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{8}{3}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{4}{3}$．
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，0＜$\frac{2π}{3}$-A$＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$．
故$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）$∈（\frac{1}{2}，1]$，
∴∴$y∈（\frac{8}{3}，4]$．∴ac的最大值为为4．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．