Question

10．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且sin A=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cos2B=$\frac{3}{5}$，
（1）求A+B的值；
（2）若b-a=2-$\sqrt{2}$，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用cos（A+B）=cos Acos B-sin Asin B，即可求A+B的值；
（2）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得$\sqrt{10}$a=$\sqrt{5}$b=$\sqrt{2}$c，即b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{5}$a，利用b-a=2-$\sqrt{2}$，求a，b，c的值．

解答 解：（1）∵A、B为锐角，sin A=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴cos A=$\sqrt{1-sin2A}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又cos 2B=1-2sin²B=$\frac{3}{5}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos B=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cos（A+B）=cos Acos B-sin Asin B=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜A+B＜π，∴A+B=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）知，C=$\frac{3π}{4}$，∴sin C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得$\sqrt{10}$a=$\sqrt{5}$b=$\sqrt{2}$c，即b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{5}$a．
∵b-a=2-$\sqrt{2}$，∴$\sqrt{2}$a-a=2-$\sqrt{2}$，∴a=$\sqrt{2}$，b=2，c=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查和角三角函数，属于中档题．