Question

20．如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN．
（1）求证：直线MN∥平面PCD；
（2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）延长AN，交CD于点G，由相似知$\frac{AN}{NG}=\frac{BN}{ND}=\frac{AM}{MP}$，推出MN∥PG，然后证明直线MN∥平面PCD；
（2）以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（1，0，0），求出相关点的坐标，
$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），平面AMN的法向量，利用向量的数量积求解PB与平面AMN夹角的余弦值．

解答 （1）证明：延长AN，交CD于点G，由相似知$\frac{AN}{NG}=\frac{BN}{ND}=\frac{AM}{MP}$，可得：MN∥PG，
MN?平面PCD，PG?平面PCD，
则直线MN∥平面PCD；
（2）解：由于DA⊥DC⊥DP，以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），$M（\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$，$N（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$
则$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），平面AMN的法向量为$\overrightarrow m=（1，1，1）$，
则向量$\overrightarrow{PB}$与$\overrightarrow m$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{1}{3}$，
则PB与平面AMN夹角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．