Question

2．若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+n．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）设b_n=log₂（1-a_n），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式求得首项，且当n＞1时，有S_n-1=2a_n-1+（n-1），与原递推式作差可得a_n=2a_n-1-1，即$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}=2$，可得数列{a_n-1}是首项为-2，公比为2的等比数列；
（2）求出设b_n，由裂项相消法求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

解答 （1）证明：当n=1时，a₁=S₁=2a₁+1，解得a₁=1．
当n＞1时，由题意，S_n-1=2a_n-1+（n-1），
S_n-S_n-1=（2a_n+n）-[2a_n-1+（n-1）]=2a_n-2a_n-1+1，即a_n=2a_n-1-1．
∴a_n-1=2（a_n-1-1），即$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}=2$，
∴数列{a_n-1}是首项为-2，公比为2的等比数列；
（2）解：由（1），${a}_{n}-1=-2•{2}^{n-1}=-{2}^{n}$，∴${a}_{n}=1-{2}^{n}$，
∴b_n=log₂（1-a_n）=$lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则${T}_{n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．