Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-a•{2}^{x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$是定义R在上的奇函数．
（1）求实数a的值，并求函数f（x）的值域；
（2）设g（x）=（2^x+2^-x）•f（x）．
（ⅰ）判断函数y=g（x）的单调性（不需要说明理由），并求使不等式g（x²+tx）+g（4-x）＞0对x∈R恒成立的实数t的取值范围；
（ⅱ）设h（x）=2^2x+2^-2x-2m•g（x）且h（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得a值．
（2）（ⅰ）已知y=g（x）在R上为增函数，原不等式可化为g（x²+tx）＞g（x-4），x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．
（ⅱ）令t=g（x）=2^x-2^-x，由（1）可知y=g（x）在R上为增函数，t≥g（1），令h（t）=t²-2mt+2，（t≥$\frac{3}{2}$），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．

解答 解：（1）由题意易知f（0）=$\frac{1-a}{1+a}$，故a=1．…．…．（1分）
所以f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$，
∵2^2x＞0，∴2^2x+1＞1，∴-2＜-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$＜0，
∴-1＜f（x）＜1，故函数f（x）的值域为（-1，1）．…．…．（3分）
（2）（ⅰ）已知y=g（x）在R上为增函数，原不等式可化为g（x²+tx）＞g（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即  x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，…（8分）
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．…．…．（6分）
（ⅱ）h（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=g（x）=2^x-2^-x，由（1）可知y=g（x）在R上为增函数，
∵x≥1，∴t≥g（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥$\frac{3}{2}$）…（10分）
若m≥$\frac{3}{2}$，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2…（12分）
若m＜$\frac{3}{2}$，当t=$\frac{3}{2}$时，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，舍去…（14分）
综上可知m=2．…（16分）

点评 本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．