Question

19．已知O是边长为2的等边△ABC的重心，则 （$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知得OA，OB，OC两两夹角为120°，|OA|=|OB|=|OC|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，从而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{2}{3}$，由此能求出（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）的值．

解答 解：∵O是边长为2的等边△ABC的重心，
∴OA，OB，OC两两夹角为120°，
|OA|=|OB|=|OC|=$\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OC}$|•cos120°=$\frac{4}{3}•（-\frac{1}{2}）=-\frac{2}{3}$，
同理，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{2}{3}$，
（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）
=$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$
=$\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}$=-$\frac{2}{3}$．
故答案为：$-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积、三角形重心性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．