Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$（p＞0）
（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），α=$\frac{π}{2}$时，直线方程为：x=0，可得极坐标方程.$α≠\frac{π}{2}$时，消去参数t可得：y=xtanα．（0＜α＜π）．由直线l是经过原点且倾斜角为α的直线．可得直线l的极坐标方程．曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$（p＞0），可得：ρ-ρcosθ=p，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）设A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=α}\\{ρ=\frac{p}{1-cosθ}}\end{array}\right.$，可得ρ₁=$\frac{p}{1-cosθ}$=|OA|．联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=α+π}\\{ρ=\frac{p}{1-cosθ}}\end{array}\right.$，可得：ρ₂=$\frac{p}{1-cos（α+π）}$=$\frac{p}{1+cosα}$=|OB|．即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
α=$\frac{π}{2}$时，直线方程为：x=0，其极坐标方程为：$θ=\frac{π}{2}$或θ=$\frac{3π}{2}$．
$α≠\frac{π}{2}$时，消去参数t可得：y=xtanα．（0＜α＜π）．
∴直线l是经过原点且倾斜角为α的直线．
∴直线l的极坐标方程为：θ=α或θ=α+π．
曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$（p＞0），可得：ρ-ρcosθ=p，∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$-x=p，化为：x²+y²=（x+p）²．
整理为：y²=2p（x+$\frac{p}{2}$）．
（II）设A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=α}\\{ρ=\frac{p}{1-cosθ}}\end{array}\right.$，可得ρ₁=$\frac{p}{1-cosθ}$=|OA|．
联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=α+π}\\{ρ=\frac{p}{1-cosθ}}\end{array}\right.$，可得：ρ₂=$\frac{p}{1-cos（α+π）}$=$\frac{p}{1+cosα}$=|OB|．
∴$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{1-cosθ}{p}+\frac{1+cosθ}{p}$=$\frac{2}{p}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．