Question

3．在数列{a_n}中，a₁=1，且${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，n∈N^*，①求a₂，a₃，a₄并猜想数列的通项公式，②试证明你的猜想．

Answer 1

分析 ①利用数列的递推关系式求出数列的前4项，然后猜想数列的通项公式．
②利用递推关系式判断新数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是以1为首项，公差d=1的等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可．

解答 解：①∵a₁=1，且${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，n∈N^*，∴${a}_{2}=\frac{{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；${a}_{3}=\frac{{a}_{2}}{1+{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，同理
得：${a}_{4}=\frac{{a}_{3}}{1+{a}_{3}}=\frac{1}{4}$，观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，
由此猜想：${a}_{n}=\frac{1}{n}$，n∈N^*，------（6分）
②证明如下：∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+1$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=1$，∈N^*，
∴$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，公差d=1的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，∴a_n=$\frac{1}{n}$，∈N^*．------（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查转化思想与计算能力．