Question

14．已知圆C经过A（3，3），B（2，4）两点，且圆心C在直线y=3x-5上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设P（-m，0），Q（m，0）（m＞0），若圆C上存在点M，使得点M也在以PQ为直径的圆上，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程；
（2）以PQ为直径的圆的方程为x²+y²=m²，由已知，该圆与圆C有公共点即可．

解答 解：（1）因为k_AB=-1，AB的中点为$（\frac{5}{2}，\frac{7}{2}）$
所以AB的中垂线为：$y-\frac{7}{2}=x-\frac{5}{2}$，即x-y+1=0
联立$\left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ y=3x-5\end{array}\right.$，解得圆心C（3，4）．
又因为半径为|CA|=1，所以圆C：（x-3）²+（y-4）²=1．
（2）以PQ为直径的圆的方程为x²+y²=m²，由已知，该圆与圆C有公共点即可，
所以$|m-1|≤\sqrt{{{（3-0）}^2}+{{（4-0）}^2}}≤m+1$，解得m∈[4，6]．

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．