Question

曲线的参数方程和普通方程既有各自的优点也有各自的缺点.为了利用各自的优点，有时候需要把参数方程转化为普通方程，有时候需要把普通方程转化为参数方程.那么，如何把一个参数方程化为普通方程，把一个普通方程化为参数方程呢？在普通方程与参数方程互化的过程中，又需要注意哪些问题呢?

Answer 1

探究：把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法；

把普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数，是消参的逆过程，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标（或纵坐标）.

在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，如(t为参数),通过消参数得到方程y²=-(x-1)，而事实上由x=cos²t可知0≤x≤1，而由y²=-(x-1)可知其中x≤1，显然两个范围不同，即两个方程所表示的曲线就不是同一条曲线，可以说y²=-(x-1)就不是的普通方程.故在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性，即它们二者要表示同一曲线.