Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

5

3

，定点M（2，0）椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P（

9

2

，0），设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，求证：PM是∠APB的平分线．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆离心率计算公式可得 

5

9

=e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

，解得

b

a

=

2

3

．依题意△MB₁B₂是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．即可．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，得到根与系数的关系，代入并证明k_PA+k_PB=0，即可．

解答：（Ⅰ）解：由 

5

9

=e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

，得

b2

a2

=

4

9

，即

b

a

=

2

3

．
依题意△MB₁B₂是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．
所以椭圆C的方程是

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去x得（4m²+9）y²+16my-20=0．
所以 y1+y2=

-16m

4m2+9

，y1y2=

-20

4m2+9

．（*）
所以k_PA+k_PB=

y1

x1- 9 2

+

y2

x2- 9 2

=

y1(my2- 5 2 )+y2(my1- 5 2 )

(my1- 5 2 )(my1- 5 2 )

=

2my1y2- 5 2 (y1+y2)

m2y1y2- 5 2 m(y1+y2)+ 25 4

．
将 （*）代入上式得，k_PA+k_PB=0，
则直线PA，PB的倾斜角互补，从而使PM是∠APB的平分线．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、PM是∠APB的平分线?k_PA+k_PB=0等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．