Question

设曲线y=（x-2）²（0＜x＜2）上动点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则△AOB面积的最大值为________．

Answer 1

分析：利用导数的几何意义得到直线的斜率，写出切线的方程，表示出△AOB的面积，再利用导数研究其单调性即可得出．
解答：设切点P（x₀，y₀），（0＜x₀＜2）．
∵y′=2（x-2），∴切线的斜率为2（x₀-2）．
切线方程为y．
令y=0，解得．∴A．
令x=0，解得y=．∴．
∴S_△AOB=|AO||OB|==．
令，则=-（3x₀-2）（x₀+2）．
令f^′（x₀）=0，又0＜x₀＜2，解得．列表如下：
由表格可得到：当时，f（x₀）取得极大值，也即最大值．
此时，S_△AOB取得最大值，=．
故答案为．
点评：熟练掌握导数的几何意义、切线的方程、三角形的面积公式、利用导数研究其单调性是解题的关键．