Question

6．下列函数中，有奇偶性的函数是①②⑤⑥⑦⑧．
①y=e^x-e^-x②y=lg$\frac{1+x}{1-x}$③y=cos2x ④y=sinx+cosx⑤y=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）⑥y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$⑦y=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$⑧y=log₂（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）⑨y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{|2-x|+|x+2|}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断．

解答 解：设所有的函数为f（x），
①y=e^x-e^-x
f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），为奇函数，
②由$\frac{1+x}{1-x}$＞0得-1＜x＜1，
则y=lg$\frac{1+x}{1-x}$=lg（1+x）-lg（1-x），
则f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-[lg（1+x）-lg（1-x）]=-f（x），函数为奇函数．
③y=cos2x
f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x），函数为偶函数，
④y=sinx+cosx，
f（-x）=-sinx+cosx，则f（-x）≠-f（x），且f（-x）≠f（x），函数为非奇非偶函数，
⑤y=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）
f（-x）+f（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）log₂（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）=log₂（x²+1-x²）=log₂1=0，
则f（-x）=-f（x），则函数为奇函数．
⑥y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$
f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{{e}^{-x}+{e}^{x}}$=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=-f（x），则函数为奇函数．
⑦y=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，
由e^x-e^-x≠0得e^x≠e^-x，即x≠-x，
解得x≠0，
则f（-x）=$\frac{{e}^{-x}+{e}^{x}}{{e}^{-x}-{e}^{x}}$=-$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$=-f（x），则函数f（x）为奇函数．
⑧y=log₂（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）
f（-x）+f（x）=log₂（-sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）log₂（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）=log₂（sin²x+1-sin²x）=log₂1=0，
则f（-x）=-f（x），则函数为奇函数．
⑨y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{|2-x|+|x+2|}$．
由1-x²≥0得-1≤x≤1，
此时y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{|2-x|+|x+2|}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-x+x+2}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{4}$，
则f（-x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{4}$=f（x），
则函数为偶函数．
故答案为：①②⑤⑥⑦⑧

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．