Question

16．已知正项数列{a_n}满足：S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*），其中S_n为数列{a_n}的前n项的和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：$\frac{2n+1}{（n+1）\sqrt{n+1}}$＜（$\frac{1}{{a}_{1}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+（$\frac{1}{{a}_{2}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+（$\frac{1}{{a}_{3}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+…+（$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*）与S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³（n≥2，n∈N^*）作差、计算可知S_n+S_n-1=${{a}_{n}}^{2}$，并与S_n-1-S_n-2=${{a}_{n-1}}^{2}$作差、整理即得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知${（{\frac{1}{a_n}}）^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{{n\sqrt{n}}}$，一方面利用不等式的性质、累加可知（$\frac{1}{{a}_{1}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+（$\frac{1}{{a}_{2}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+（$\frac{1}{{a}_{3}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+…+（$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$＞$\frac{2n+1}{（n+1）\sqrt{n+1}}$，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{（2n+1）\sqrt{2n+1}}$＜2，进而整理即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*），
∴S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³（n≥2，n∈N^*），
两式相减得：${{S}_{n}}^{2}$-${{S}_{n-1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{3}$，
∴a_n（S_n+S_n-1）=${{a}_{n}}^{3}$，
∵数列{a_n}中每一项均为正数，
∴S_n+S_n-1=${{a}_{n}}^{2}$，
又∵S_n-1-S_n-2=${{a}_{n-1}}^{2}$，
两式相减得：a_n-a_n-1=1，
又∵a₁=1，
∴a_n=n；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${（{\frac{1}{a_n}}）^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{{n\sqrt{n}}}$，
∵$k（{2n+2-k}）≤{（{\frac{k+2n+2-k}{2}}）^2}={（{n+1}）^2}$，
∴$\frac{1}{{k\sqrt{k}}}+\frac{1}{{（2n+2-k）\sqrt{（2n+2-k）}}}＞\frac{2}{{\sqrt{k（{2n+2-k}）\sqrt{k（{2n+2-k}）}}}}≥\frac{2}{{（{n+1}）\sqrt{n+1}}}$，
即${（{\frac{1}{a_k}}）^{\frac{3}{2}}}+{（{\frac{1}{{{a_{2n+2-k}}}}}）^{\frac{3}{2}}}＞2{（{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}）^{\frac{3}{2}}}$，
令k=1，2，3，…，n，累加后再加${（{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}）^{\frac{3}{2}}}$得：
（$\frac{1}{{a}_{1}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+（$\frac{1}{{a}_{2}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+（$\frac{1}{{a}_{3}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$+…+（$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$＞2${（{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}）^{\frac{3}{2}}}$+2${（{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}）^{\frac{3}{2}}}$+…+2${（{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}）^{\frac{3}{2}}}$+${（{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}）^{\frac{3}{2}}}$
=（2n+1）${（{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}）^{\frac{3}{2}}}$=$\frac{2n+1}{（n+1）\sqrt{n+1}}$，
又∵$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{（2n+1）\sqrt{2n+1}}$＜3等价于$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{（2n+1）\sqrt{2n+1}}$＜2，
而$\frac{1}{k\sqrt{k}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k}\sqrt{k}}$＜$\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k}\sqrt{k-1}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$（$\frac{1}{\sqrt{k-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{k}}$）$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$=$\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{k}}$（$\frac{1}{\sqrt{k-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{k}}$）
＜$\frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{k}}$（$\frac{1}{\sqrt{k-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{k}}$）=2（$\frac{1}{\sqrt{k-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{k}}$），
令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：
$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{（2n+1）\sqrt{2n+1}}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$）+2（$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$）+…+2（$\frac{1}{\sqrt{2n}}$-$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$）
=2（1-$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$）＜2，
∴$\frac{2n+1}{{（n+1）\sqrt{n+1}}}＜{（{\frac{1}{a_1}}）^{\frac{3}{2}}}+{（{\frac{1}{a_2}}）^{\frac{3}{2}}}+{（{\frac{1}{a_3}}）^{\frac{3}{2}}}+…+{（{\frac{1}{{{a_{2n+1}}}}}）^{\frac{3}{2}}}＜3$．

点评 本题是一道数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，考查裂项相消法等基础知识，注意解题方法的积累，属于难题．