Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)²，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer 1

(1) a＝2 (2) 当销售价格x＝4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

解析试题分析：解：（1）由题设知x＝5时y＝11，则11＝＋10(5－6)²，解得a＝2. 3分
（2）由（1）知该商品每日的销售量y＝＋10(x－6) ²，所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3) [＋10(x－6) ²]＝2＋10(x－3) (x－6) ²，3＜x＜6.       6分
对函数f(x)求导，得f ′(x)＝10[(x－6) ²＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
令f ′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝4．                                 10分
当3＜x＜4时，f ′(x)＞0，当4＜x＜6时，f ′(x)＜0，于是有函数f(x)在(3，4)上递增，在(4，6)上递减，所以当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.             13分
答：当销售价格x＝4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.
考点：函数的模型的运用
点评：解决的关键是对于已知中的利润函数的 准确表示，然后借助于导数的知识来得到最值，属于基础题。